Добрый день, верно, общественная организация может не иметь статуса юр. лица.
ст. 27 ФЗ-82: Для осуществления уставных целей общественное объединение, не являющееся юридическим лицом, имеет право:
свободно распространять информацию о своей деятельности;
проводить собрания, митинги и демонстрации, шествия и пикетирование;
представлять и защищать свои права, законные интересы своих членов и участников в органах государственной власти, органах местного самоуправления и общественных объединениях;
осуществлять иные полномочия в случаях прямого указания на эти полномочия в федеральных законах об отдельных видах общественных объединений;
выступать с инициативами по вопросам, имеющим отношение к реализации своих уставных целей, вносить предложения в органы государственной власти и органы местного самоуправления.

т.к. печать не регистрируется, то не вижу проблем, символику тоже можно, только соблюдайте требования ст. 24 ФЗ-82.

а вот счет не откроете, для этого необходимо зарегистрироваться

и еще вот какой момент, возможно это вам и не принципиально, но... общественная организация без образования юр.лица, не сможет быть членом ассоциации или другой общественной организации, зарегистрированной в качестве юр.лица

возможно, но не все организации имеют эмблему и символику...
Некоммерческих организаций с эмблемами крайне мало встречается

По такой общественной организации, которая не получила статус юр.лица, кроме наименования и адреса больше нечего указывать